Funkcja i jej własności.

W dzisiejszym poście postaram się wytłumaczyć co to jest funkcja oraz opowiedzieć o jej własnościach.

1. Zacznijmy od tego co to jest funkcja:

Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym KAŻDEMU elementowi zbioru A odpowiada dokładnie JEDEN element zbioru B. 

Powyższe ilustracje przedstawiają funkcję gdyż zostały spełnione oba warunki - każdej liczbie, literce oraz figurze w zbiorze A został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru B.

Powyższe ilustracje przedstawiają sytuację, w których NIE mówimy o funkcji:

- w pierwszym przypadku niespełniony jest drugi warunek, cyfrze 1 przyporządkowane są dwie literki: a i b (a musi być przyporządkowany dokładnie jeden element)
- w drugim przypadku gwiazdce nie przyporządkowano żadnego elementu ze zbioru B (a każdemu elementowi ze zbioru A musi być przyporządkowany jakiś element ze zbioru B)

2. W funkcji wyróżniamy:

     a) Dziedzinę  - czyli zbiór A, a więc zboru z którego dokonujemy przyporządkowanie,

     b) Argumenty - czyli elementy zbioru A (elementy dziedziny), (w przypadku pierwszej ilustracji argumentami są: 1,2,3,4; a,b,c,d; romb, prostokąt, gwiazdka, trapez, równoległobok),

    c) Zbiór wartości - czyli zbiór B, czyli zbiór do, którego przyporządkowujemy argumenty dziedziny,
    d) Wartości funkcji - są to elementy zbioru B (elementy zbioru wartości), (w przypadku pierwszej ilustracji wartościami funkcji są: 4,3,2,1; A,B,C,D; kółko, trójkąt, kwadrat, prostokąt)

3. Sposoby określania funkcji:

    a) pierwszy sposób to przedstawiony wcześniej graf: 

    b) drugi sposób to tabelka: 

      argumenty określane również znakiem "x" w kolejności rosnącej wypisałem w górnej części tabelki, a wartości funkcji określane również znakiem "y" wypisałem w dolnej części tabelki odpowiedni przyporządkowując według grafu.

    c) trzecim sposobem jest opis słowny:

     W tym wypadku jest to: Każdemu argumentowi przyporządkuj liczbę do niego odwrotną.

    d) czwartym sposobem jest wzór:

     W tym przypadku jest to: f(x)= 

    e) ostatnim, piątym sposobem opisu funkcji jest wykres:

      z wykresem jest podobnie jak z grą w statki - jeden z gracz podaje współrzędne celu i mówi np. C12, w wykresie funkcji jest podobnie tylko współrzędne składają się z dwóch liczb - pierwsza to argument (czyli x - odcinek poziomy), a druga to wartość funkcji (czyli y - odcinek pionowy). 

4. Określanie dziedziny i zbioru wartości funkcji z jej wykresu oraz podawanie argumentów i wartości funkcji. Monotoniczność

     Rozpoznać możemy dwa rodzaje funkcji - taką jak na pierwszej ilustracji gdzie określone są poszczególne argumenty, a także taką, w której argumentów jest nieskończenie wiele jak na ilustracji drugiej.

Określanie dziedziny:

    a) w pierwszym przypadku sytuacja jest prosta: D={-5,-3,2,3,5} - patrzymy na punkt i na oś "x", musimy również pamiętać, aby argumenty wymieniać w kolejności rosnącej.

    b) w drugim przypadku jest trochę trudniej gdyż punktów jest nieskończenie wiele, a więc musimy zaznaczyć odpowiedni przedział - patrzymy na początek oraz koniec funkcji. W tym wypadku zaczyna się on w punkcie -5, a kończy w punkcie 6. Dziedzina wygląda tak: D={ x <-5;6)} Ważne są też oznaczenia - jeśli kółko jest zamalowane (jak w przypadku początku funkcji) to stosujemy nawias zamknięty - < lub > - oznacza to, że punkt -5 również należy do funkcji, natomiast jeśli kończy się kółkiem otwartym to oznaczamy to nawiasem otwartym - ( lub ) - i oznacza to, że 6 nie należy do funkcji.
    
 - należy

Określanie zbioru wartości:

    a) teraz będzie już łatwiej, w pierwszym przypadku będzie to Zw={-3,0,2,4}, patrzymy na punkty i na oś "y"

   b) w drugim przypadku będą to punkty w którym wykres najbardziej się "wychyla" do góry i w dół. Zw={y  <-3;5>}

Określanie argumentów i wartości funkcji:

    Gdy każą nam podać argument dla wartości 2 w pierwszym przypadku to patrzymy na oś "y" i szukamy na niej 2, potem jedziemy poziomo i szukamy czy na poziomie tej dwójki znajduje się punkt, jeśli tak to zapisujemy to w postaci f(-3)=2 (jest to wzór f(x)=y, a więc x zastępujemy znalezionym argumentem, a y mieliśmy podany więc wpisujemy po prostu 2.

    W przypadku drugiego wykresu gdyby ktś zapytał o argument dla wartości -2 moglibyśmy odpowiedzieć że jest to -1,5 oraz 2.

    Jeżeli chodzi o określanie wartości, a podany mamy argument to postępujemy dokładnie tak samo np. podaj wartość funkcji dla argumentu 5 w pierwszym przypadku to wtedy na osi "x" szukamy gdzie znajduje się 5 i jedziemy pionowo w stronę punktu, jak znajdziemy punkt o argumencie 5 to jedziemy poziomo w stronę osi "y" i odczytujemy, że jest to -3
    W drugim przypadku np. jeśli mielibyśmy znaleźć wartość funkcji dla argumentu 4 to po poszukaniu na osi x argumentu 4 możemy powiedzieć, że wartością dla tego argumentu jest 2.

Monotoniczność:

    Najprościej mówiąc to wtedy gdy funkcja rośnie (czyli idzie w górę), maleje (idzie w dół) lub jest stała (jest równoległa względem osi "x"). Opisując monotoniczność cały czas patrzymy na oś "x"

   Monotoniczność możemy określić w drugim przypadku i opisujemy ją w ten sposób:

   Funkcja jest malejące w przedziale <-5,0>, a rosnąca w przedziale <0,6).

Istnieją również funkcje, których monotoniczność się nie zmienia i funkcja cały czas jest rosnąca, malejąca lub stała, wtedy o takiej funkcji mówimy, że jest funkcją monotoniczną. Jeżeli jest rosnąca, malejąca lub stała w kilku miejsca wtedy mówimy, że jest funkcją monotoniczną przedziałami. 

Miejsce zerowe:

    Możemy również określi miejsce zerowe  czyli taki argument x, dla którego f(x)=0, a więc patrząc na oś "x" jeżeli jakiś punkt znajduje się dokładnie na osi "x" to jest miejsce zerowe. Dla takiego punktu wartość funkcji równa jest 0. 

    W pierwszym przypadku miejsce zerowe jest: x=3, a w drugi przypadku: x=-2, x=3(a raczej troszkę przed, jakieś 2,75)

ZADANIA:

Zad 1. Na którym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji?

Odp.: Na rysunku b). Na rysunku a) nie przedstawiono wykresu funkcji gdyż jednemu argumentowi np. -2 przyporządkowano, aż dwie wartości -1 i -2.

Zad 2. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. 
             a) Podaj argumenty, dla których funkcja ma wartość równą 1, oraz                                argumenty, dla których funkcja ma wartość równą -2
             b) Jaką wartość ma funkcja f dla argumentów x=4 i x=5

Odp.: a) f(3)=1

               y = -2 <=> x= -2 lub (0;2>                               <=> - wtedy i tylko wtedy gdy
          b) f(4)= 4
               f(5)= nie istnieje

Zad 3. Na podstawie wykresu funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Odczytaj jej miejsce zerowe.

Odp.: a) D={-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
               Zw={-1,0,1,2}
               f(x)=0 <=> x=1 lub x=3
          b) D= {x  <-4;4>}
               Zw= {y  <-3;3>}
               f(x)=0 <=> x=-1 lub x=3
Zad 4. Podaj przedziały monotoniczności funkcji przedstawionej na wykresach.

Odp.: a) funkcja stała w przedziałach x  <-6;4) oraz x  {-3,-2,-1,0}, funkcja malejąca w                            przedziale x  (1;5>
           b) funkcja rosnąca w przedziałach x  (-4;-2> oraz x  <3;5), funkcja stała w                                   przedziale x  <-2;1), funkcja malejąca w przedziale x  <1;3>
  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
I to byłoby na tyle. Mam nadzieję, że pomogłem wam w zrozumieniu funkcji. Jeżeli macie jakiekolwiek pytania lub zauważyliście błędy bardzo was proszę o komentarz. Piszcie również o jakim innym zagadnieniu chcielibyście tutaj przeczytać. Zapraszam do komentowania.
Pozdrawiam
Jake ;)